Essas três palavrinhas são homófonas, ou seja, possuem a mesma pronúncia. Por isso é necessário sempre prestar atenção no contexto da frase para não cometer nenhum engano.

Their

O their é usado para indicar propriedade. É um adjetivo possessivo e indica que um substantivo em particular pertence a “them” ou “eles”:

My friends have lost their wallets. – Meus amigos perderam suas carteiras.
Their things were strewn about the office haphazardly. – As coisas deles foram espalhadas pelo escritório acidentalmente.

There

É utilizado quando a referência for um lugar, seja ele concreto como em “Over there by the house”, que seria como dizer “Ali, na casa”. Pode ser utilizado também referindo-se a um lugar abstrato “It must difficult to live there”, que quer dizer “Deve ser difícil morar lá”.

Também use there com o verbo to BE (is, am, are, was, were) para indicar a existência de algo, ou para mencionar algo pela primeira vez.

There is an antique store on Avenida Paulista.  –  Há uma loja de antiguidades na Avenida Paulista.
There are many documents that are used in investigations.  –  Existem muitos documentos usados em uma investigação.
There is a picnic area across the river.  –  Tem uma área de piquenique depois do rio.
“I see there are new flowers coming up in your garden.”  –  “Estou vendo que há novas flores brotando em seu jardim.”

They’re

They’re é uma contração das palavras they e are. Nunca pode ser usado como um predicado, apenas como um sujeito (quem ou o quê pratica a ação) e verbo (a ação propriamente dita).

Hurry up! They’re closing the mall at six tonight! – “Rápido, eles vão fechar o shopping às seis horas hoje!”

I’m glad that they’re so nice to new students here.” – “Fico feliz de eles serem tão legais com alunos novos aqui”.

Quando você usar qualquer uma destas três palavras, adquira o hábito de se fazer estas perguntas, mas lembre-se que elas podem não funcionar em todos os casos:

Se você escreveu there, a frase ainda fará sentido se você substituir por here? Se sim, você está usando da forma correta.

Se você escolheu their, a frase ainda fará sentido se você substituir por our? Se sim, você está usando da forma correta.

Se você usou they’re, a frase ainda fará sentido se você substituir por they are? Se sim, você está no caminho certo!